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  • Formule d'interpolation de Shannon-Nyquist

    Formulaire de report

    Formule d'interpolation de Shannon-Nyquist :
    • \(x(t)\) est un Signal suffisamment régulier pour que $$X(f)=0\quad\text{ pour }\quad f\notin[-B,B]$$
    • \(T_e\lt \frac1{2B}\) (\(\iff 2B\lt F_e\))

    $$\Huge\iff$$
    • on peut reconstruire de façon exacte \(x(t)\) à partir de ses échantillons \(x[n]=x(nT_e)\) obtenus via un Echantillonnage uniforme grâce à la formule $$\tilde x(t)=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}x(nT_e)\operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT_e}{T_e}\right).$$



    Questions de cours


    On écrit \(f(y)\) sous forme de Série de Fourier.

    On peut bricoler pour obtenir la formule de la Transformée de Fourier inverse.

    Les échantillons déterminent donc la série de Fourier, donc \(f\).



    Exercices


    Une fréquence donne le même signal d'après le Théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist.

    L'autre fréquence d'échantillonnage est trop grande \(\to\) il y a une partie effacée et une partie modifiée.




    Le signal est imaginaire pur et impair.

    Et le signal n'est pas à support borné par Théorème d'incertitude d'Heisenberg.




    Par le cours.




    On cherche la transformée de Fourier d'un sinus.

    On passe par la formule d'Euler.

    On utilise le fait que la transformée de Fourier d'un Dirac est une exponentielle complexe.




    On utilise le fait que multiplier par une fonction porte dans le domaine spectral revient à convoler par un sinus cardinal dans le domaine temporel.


    'information